Consigne: Des étudiants se préparent à un examen. Le sujet sera fabriqué par l'un de leurs trois professeurs : Xxxx, Yyyy et Zzzz
Or, les étudiants redoutent qu'un certain chapitre soit posé à l'examen et ils évaluent à \(10\%\) la probabilité pour que le chapitre en question sorte si c'est Xxxx qui fait les sujets, \(40\%\) si c'est Yyyy qui le fait, et \(80\%\) si c'est Zzzz
Yyyy leur a dit : il y a une chance sur deux pour que ce soit moi qui fasse le sujet, et si je ne le fait pas, il y a trois chances sur cinq pour que ce soit Xxxx
Le jour J arrive, et le chapitre fatidique est posé à l'examen ! Sachant cela, calculer les probabilités pour que l'examen ait été posé par Xxxx, Yyyy ou Zzzz
Définition d'événements et lecture des données de l'énoncé On note :
- \(X=\{\text{le prof Xxxx pose l}^\prime\text{examen}\}\)
- \(Y=\{\text{le prof Yyyy pose l}^\prime\text{examen}\}\)
- \(Z=\{\text{le prof Zzzz pose l}^\prime\text{examen}\}\)
- \(C=\{\text{le chapitre fatidique est dans l}^\prime\text{examen}\}\)
On sait que \(P(Y)=\frac12\), \(P(C\mid X)=0.1\), \(P(C\mid Y)=0.4\) et \(P(C\mid Z)=0.8\)
On veut \(P(Y\mid C)\), \(P(X\mid C)\) et \(P(Z\mid C)\)
$$P(X\mid Y^C)=\frac35=\frac{P(X\cap Y^C)}{P(Y^C)}=\frac{P(X)}{1-P(Y)}=\frac{P(X)}{1/2}$$ donc \(P(X)=\frac3{10}\)
De le même manière, \(P(Z)=\frac2{10}\)
Puisque \(X,Y,Z\) sont complémentaires, on a :$$\begin{align} P(C)&=P(X\cap C)+P(Y\cap C)+P(Z\cap C)\\ &=P(C\mid X)P(X)+P(C\mid Y)P(Y)+P(C\mid Z)P(Z)\\ &=\frac{39}{100}\end{align}$$
$$P(X\mid C)=\frac{P(C\cap C)}{P(C)}=\frac3{39}$$
De même pour \(Y\) et \(Z\)